Algèbre de Boole

Constitue une partie des travaux de Georges Boole (1815-1864) relatif à l'élaboration d'une base mathématique au raisonnement logique.

Une algèbre de Boole est la donnée de :

• un ensemble E,
• deux éléments particuliers de E : 0 et 1,
• deux opérations binaires sur E : + et . (le . sera parfois omis),
• une opération unaire sur E.

qui vérifient les axiomes suivants : soient $a,b \in E$

commutativité	a+b=b+a	ab=ba
associativité	(a+b)+c=a+(b+c)	(ab)c=a(bc)
distributivité	a(b+c)=ab+ac	a+(bc)=(a+b)(a+c)
éléments neutres	a+0=a	a1=a
complémentation	a+ =1	a =0

Les théorèmes suivants peuvent être déduits :

idempotence	a+a=a	aa=a
absorption	a+ab=a	a(a+b)=a
De Morgan (dualité)	= .	= +
éléments absorbants	a+1=1	a0=0

? Démontrer que aa=a

On se restreind ici à l'algèbre de Boole minimale, où $E=\{0,1\}$. Cette algèbre peut être interprétée comme suit :

• 1 est interprété ``vrai'' et 0 ``faux'',
• + est interprété ``ou'' (disjonction logique)
• . est interprété ``et'' (conjonction logique)
• - est interprété ``non'' (négation logique)

? L'algèbre des ensembles munis des opérations d'union, d'intersection et de complémentation est elle une algèbre de boole ?